例 6.27

依赖于

• 例 6.24
• 例 6.13

被以下题目直接调用

• 无

例 6.27

设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的特征值全是实数，且 $A$ 的一阶主子式之和与二阶主子式之和都等于零，求证：$A$ 是幂零矩阵。

解答

证明 设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，由条件和例 6.24 可知

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=0,$$ $$\sum _{1\le i<j\le n}{\lambda }_i{\lambda }_j={\lambda }_1{\lambda }_2+{\lambda }_1{\lambda }_3+\cdots +{\lambda }_{n-1}{\lambda }_n=0,$$

则

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^2={\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)}^2-2\sum _{1\le i<j\le n}{\lambda }_i{\lambda }_j=0.$$

由于 ${\lambda }_i$ 都是实数，故 ${\lambda }_i=0(1\le i\le n)$ 成立，再由例 6.13 可知 $A$ 为幂零矩阵。$\square$