例 6.105

依赖于

• 例 6.102
• 例 6.39

被以下题目直接调用

• 例 6.106
• 例 6.107

例 6.105

设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m\times n$ 矩阵全体构成的线性空间， $V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为：$\phi (X)=AX-XB$。设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_i(1\le i\le m)$，$B$ 的特征值为 ${\mu }_j(1\le j\le n)$。求证： 线性变换 $\phi$ 的特征值为 ${\lambda }_i-{\mu }_j(1\le i\le m;1\le j\le n)$。

解答

证明 取 $V$ 的一组基为 $m\times n$ 基础矩阵：

$$E_{11},\cdots ,E_{1n},E_{21},\cdots ,E_{2n},\cdots ,E_{m1},\cdots ,E_{mn},$$

类似例 6.102 的讨论可得，$\phi$ 在上述基下的表示矩阵为 $A\otimes I_n-I_m\otimes B^{\prime }$。由例 6.39 可知，存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 以及 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\lambda }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\lambda }_m\end{array}\right),Q^{-1}{B}^{\prime }Q=\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\mu }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\mu }_n\end{array}\right).$$

注意到

$$\begin{array}{rl}& (P\otimes Q{)}^{-1}(A\otimes I_n-I_m\otimes B^{\prime })(P\otimes Q)\\ & =(P^{-1}AP)\otimes I_n-I_m\otimes (Q^{-1}{B}^{\prime }Q)\end{array}$$

是一个上三角矩阵，其主对角元素依次为

$${\lambda }_1-{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_1-{\mu }_n,{\lambda }_2-{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_2-{\mu }_n,\cdots ,{\lambda }_m-{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_m-{\mu }_n,$$

由此即得结论。$\square$