例 6.107

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• 例 6.105

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• 无

例 6.107

设 $V$ 为 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间，$V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为 $\phi (X)=AX-XA$，其中 $A\in V$。证明：$\phi$ 是幂零线性变换的充要条件是存在 ${\lambda }_0\in \mathbb{C}$，使得 $A-{\lambda }_0{I}_n$ 是幂零矩阵。

解答

证明 $\phi$ 是幂零线性变换当且仅当 $\phi$ 的特征值都为零，由例 6.105 可知， 这当且仅当 $A$ 的 $n$ 个特征值都等于某个复数 ${\lambda }_0$，这也当且仅当 $A-{\lambda }_0{I}_n$ 的特征值都为零，即 $A-{\lambda }_0{I}_n$ 是幂零矩阵。$\square$