例 3.61

依赖于

例 3.61

求证：
$r (A O O B) = r (A) + r (B) .$

证明设 $A, B$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，则存在非异阵 $P_{1}, Q_{1}$ 和非异阵 $P_{2}, Q_{2}$ ，使得

P_{1} A Q_{1} = (I_{r_{1}} O O O), P_{2} B Q_{2} = (I_{r_{2}} O O O) .

于是

(P_{1} O O P_{2}) (A O O B) (Q_{1} O O Q_{2}) = (P_{1} A Q_{1} O O P_{2} B Q_{2}) = I_{r_{1}} O O O O O O O O O I_{r_{2}} O O O O O .

因此，

r (A O O B) = r_{1} + r_{2} = r (A) + r (B) .

\par注例 3.61 是关于矩阵秩的一个十分基本的公式，它除了告诉我们分块对角矩阵的秩等于每个对角矩阵的秩的和之外，我们还可以反过来用这个公式，即看到两个矩阵秩之和时，可以把这两个矩阵拼成一个分块对角矩阵去考虑问题。但如果是分块上（下）三角矩阵，通常我们只能得到如下秩的不等式。