例 3.62

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例 3.61

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例 3.62

求证：
$r (A O C B) \geq r (A) + r (B), r (A D O B) \geq r (A) + r (B) .$

解答

证法 1 我们只证明第一个不等式，第二个不等式同理可证。采用与例 3.61 相同的证法和记号，可得

(P_{1} O O P_{2}) (A O C B) (Q_{1} O O Q_{2}) = (P_{1} A Q_{1} O P_{1} C Q_{2} P_{2} B Q_{2}) = I_{r_{1}} O O O O O O O C_{11} C_{21} I_{r_{2}} O C_{12} C_{22} O O .

在上面的分块矩阵中实施第三类分块初等变换，用 $I_{r_{1}}$ 消去同行的矩阵；用 $I_{r_{2}}$ 消去同列的矩阵，再将 $C_{22}$ 对换到第 $(2, 2)$ 位置：

I_{r_{1}} O O O O O O O C_{11} C_{21} I_{r_{2}} O C_{12} C_{22} O O ⟶ I_{r_{1}} O O O O O O O O O I_{r_{2}} O O C_{22} O O ⟶ I_{r_{1}} O O O O C_{22} O O O O I_{r_{2}} O O O O O .

最后由例 3.61 可得

r (A O C B) = r (I_{r_{1}}) + r (C_{22}) + r (I_{r_{2}}) \geq r_{1} + r_{2} = r (A) + r (B) .

证法 2 我们也可用子式法来证明。设

r (A O O B) = r,

则由\S 3.1.6 定理 4 可知，

(A O O B)

有一个 $r$ 阶子式不为零，不妨设为

A_{1} O O B_{1},

其中 $A_{1}, B_{1}$ 分别是 $A, B$ 的子阵。注意 $A_{1}$ 或 $B_{1}$ 允许是零阶矩阵，这对应于该子式完全包含在 $B$ 或 $A$ 中，但若 $A_{1}, B_{1}$ 的阶数都大于零，则通过该子式非零容易验证 $A_{1}, B_{1}$ 都是方阵。设在矩阵

(A O C B)

中对应的 $r$ 阶子式是

A_{1} O C_{1} B_{1},

则由 Laplace 定理可得

A_{1} O C_{1} B_{1} = ∣ A_{1} ∣∣ B_{1} ∣ = A_{1} O O B_{1} \neq = 0,

再次由\S 3.1.6 定理 4 可得

r (A O C B) \geq r = r (A O O B) = r (A) + r (B) .

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