例 3.69

依赖于

• 例 3.61
• 例 3.62

被以下题目直接调用

• 无

例 3.69

证明：

$$\mathrm{r}(ABC)\ge \mathrm{r}(AB)+\mathrm{r}(BC)-\mathrm{r}(B).$$

解答

证明 考虑下列分块初等变换：

$$\left(\begin{array}{cc}ABC& O\\ O& B\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}ABC& AB\\ O& B\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}O& AB\\ -BC& B\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}AB& O\\ B& BC\end{array}\right).$$

由例 3.61 和例 3.62 可得

$$\mathrm{r}(ABC)+\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}ABC& O\\ O& B\end{array}\right)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}AB& O\\ B& BC\end{array}\right)\ge \mathrm{r}(AB)+\mathrm{r}(BC),$$

由此即得结论。