例 3.66

依赖于

• 例 3.61
• 例 3.62

被以下题目直接调用

• 例 3.67
• 例 3.68
• 例 4.9
• 第 4 章解答题 7
• 例 6.72

例 3.66

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times t$ 矩阵，求证：

$$\mathrm{r}(AB)\ge \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-n.$$

解答

证明 考虑下列矩阵的分块初等变换：

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_n& O\\ O& AB\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}{I}_n& O\\ A& AB\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}{I}_n& -B\\ A& O\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}B& I_n\\ O& A\end{array}\right).$$

由例 3.61 和例 3.62 可得

$$\mathrm{r}(AB)+n=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}{I}_n& O\\ O& AB\end{array}\right)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}B& I_n\\ O& A\end{array}\right)\ge \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B),$$

即 $\mathrm{r}(AB)\ge \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-n$。

\par推论 若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times t$ 矩阵且 $AB=O$，则

$$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)\le n.$$