例 2.30

依赖于

• 例 2.29
• 例 2.5

被以下题目直接调用

• 例 2.48
• 例 3.81

例 2.30

设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称阵，证明：$I_n-A$ 是非异阵。

解答

证明 用反证法证明。设 $I_n-A$ 是奇异阵，则由例 2.29 可知存在 $n$ 维非零列向量 $x$，使得 $(I_n-A)x=0$，即 $Ax=x$。事实上，通过例 2.29 的证明还可以知道，因为 $A$ 是实矩阵，所以非异阵 $P,Q$ 可以取为实矩阵，从而 $x$ 也可以取为非零实列向量。设 $x=(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^{\prime }$，其中 $a_i$ 都是实数，则由 $A$ 的反对称性以及例 2.5 可得

$$0=x^{\prime }Ax=x^{\prime }x=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2,$$

从而 $a_1=a_2=\cdots =a_n=0$，即 $x=0$，这与已知矛盾。$\square$