例 3.81

依赖于

• 例 2.39
• 第 2 章解答题 14
• 例 3.80
• 例 2.30

被以下题目直接调用

• 无

例 3.81

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的行列式等于零，证明：$A^{\ast }$ 的秩不超过 1。

解答

证明 若 $A$ 的秩小于 $n-1$，则 $A$ 的任意一个 $n-1$ 阶子式等于零，故 $A^{\ast }=O$，$A^{\ast }$ 的秩为零。若 $A$ 的秩等于 $n-1$，则由上题可知 $A^{\ast }$ 的 $n$ 个列向量都成比例且至少有一列不为零，故 $A^{\ast }$ 的秩等于 1。

\par注 当 $n>2$ 时，若 $A$ 不是可逆矩阵，则由上题可知 $(A^{\ast }{)}^{\ast }=O$，这就给出了例 2.39 的证法 3。

\par**第 2 章解答题 14** 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的每一行、每一列的元素之和都为零，证明：$A$ 的每个元素的代数余子式都相等。

证法 2 由假设可知 $A$ 是奇异矩阵。若 $A$ 的秩小于 $n-1$，则 $A$ 的任意一个代数余子式 $A_{ij}$ 都等于零，结论显然成立。若 $A$ 的秩等于 $n-1$，则线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系只含一个向量。又因为 $A$ 的每一行元素之和都等于零，我们可以选取 $\alpha =(1,1,\cdots ,1{)}^{\prime }$ 作为 $Ax=0$ 的基础解系。由例 3.80 的证明可知 $A^{\ast }$ 的每一列都与 $\alpha$ 成比例，特别地，$A^{\ast }$ 的每一行都相等。对 $A^{\prime }$ 重复上面的讨论，注意到 $(A^{\prime }{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{\prime }$，从而 $A^{\ast }$ 的每一列都相等，于是 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$ 都相等。

由公式 $\dim V_A+\mathrm{r}(A)=n$ 可以得到一个简单的推论，即线性方程组 $Ax=0$ 只有零解的充要条件是 $A$ 为列满秩阵。特别地，若 $A$ 是方阵，则线性方程组 $Ax=0$ 只有零解的充要条件是 $A$ 为非异阵。这一充要条件可以用来证明方阵的非异性（参考\S 2.4），我们在例 2.30 中应用过，下面再来看几个典型例题。