例 2.29

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• 例 2.30

例 2.29

求证：$n$ 阶方阵 $A$ 是奇异阵的充要条件是存在 $n$ 维非零列向量 $x$，使得 $Ax=O$。

解答

证明 显然若 $A$ 可逆，则从 $Ax=O$ 可得到 $x=0$，因此充分性成立。

反之，若 $A$ 是奇异阵，则存在可逆阵 $P,Q$，使

$$PAQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right),r<n.$$

令 $y=(0,\dots ,0,1{)}^{\prime }$ 为 $n$ 维列向量，则 $PAQy=0$。又因为 $P$ 可逆，故 $AQy=0$。只要令 $x=Qy$ 就得到了结论。$\square$