例 1.5

依赖于

例 1.4

被以下题目直接调用

例 1.36
例 1.48
例 1.50
例 2.3

例 1.5

计算 $n$ 阶行列式，其中 $a_{i} \neq = 0 (1 \leq i \leq n)$ ：
$∣ A ∣ = x_{1} - a_{1} x_{1} x_{1} ⋮ x_{1} x_{2} x_{2} - a_{2} x_{2} ⋮ x_{2} x_{3} x_{3} x_{3} - a_{3} ⋮ x_{3} \dots \dots \dots \dots x_{n} x_{n} x_{n} ⋮ x_{n} - a_{n} .$

解答

解第一行乘以 $- 1$ 依次加到其余各行上去，可得

∣ A ∣ = x_{1} - a_{1} a_{1} a_{1} ⋮ a_{1} x_{2} - a_{2} 0 ⋮ 0 x_{3} 0 - a_{3} ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots x_{n} 00 ⋮ - a_{n} .

这是一个爪型行列式，故由例 1.4 的结论可得

∣ A ∣ = (- 1)^{n - 1} a_{2} \dots a_{n} (x_{1} - a_{1} + i = 2 \sum n \frac{a _{1} x _{i}}{a _{i}}) = (- 1)^{n - 1} a_{1} a_{2} \dots a_{n} (i = 1 \sum n \frac{x _{i}}{a _{i}} - 1) .

$□$

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