例 1.48

依赖于

• 例 1.5
• 例 1.38

被以下题目直接调用

• 无

例 1.48

求下列 $n$ 阶行列式的值：

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}(x-a_1{)}^2& a_2^2& \cdots & a_n^2\\ a_1^2& (x-a_2{)}^2& \cdots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^2& a_2^2& \cdots & (x-a_n{)}^2\end{array}\right|.$$

解答

解 注意到 $(x-a_i{)}^2=a_i^2-(2a_i-x)x$，因此直接利用例 1.5 的结论可得

$$\begin{array}{rl}|A|=& \sum _{i=1}^n(x^2-2a_{1}x)\cdots (x^2-2a_{i-1}x)a_i^2(x^2-2a_{i+1}x)\cdots (x^2-2a_{n}x)\\ & +(x^2-2a_{1}x)\cdots (x^2-2a_{n}x).\square \end{array}$$

我们直接利用行列式的性质给出例 1.38 的另一解法。