例 1.38

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 1.48

例 1.38

求下列行列式的值：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}(a+b{)}^2& c^2& c^2\\ a^2& (b+c{)}^2& a^2\\ b^2& b^2& (c+a{)}^2\end{array}\right|.$$

解答

解 若 $a=0$，则第一列和第三列成比例，故行列式值为零，于是 $a$ 是 $|A|$ 的因子，同理可证 $b,c$ 也是 $|A|$ 的因子。注意到第一列减去第二列， 以及第三列减去第二列均可提出公因子 $a+b+c$，于是 $|A|=abc(a+b+c{)}^{2}f(a,b,c)$，其中 $f(a,b,c)$ 是一次齐次多项式。设 $f(a,b,c)=k_{1}a+k_{2}b+k_{3}c$，若将 $a,b,c$ 做置换，容易验证 $|A|$ 的值仍不变， 故 $k_1=k_2=k_3$，于是 $|A|=kabc(a+b+c{)}^3$。最后取 $a=b=c=1$ 可以确定 $k=2$，因此

$$|A|=2abc(a+b+c{)}^3.\square$$