问题 2023S10

依赖于

• 例 1.46
• 例 8.70

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023S10

请用第八章的方法证明例 9.76 的结论: 设 A 是 n 阶正定实对称阵, B 是 n 阶半正定实对称阵, 则

$$\left|\mathbf{A}+\mathbf{B}\right|\ge \left|\mathbf{A}\right|+\left|\mathbf{B}\right|,$$

等号成立的充要条件是 n=1 或当 $n\ge 2$ 时, B = O.

解答

设 C 为非异实矩阵, 使得 $C^{\prime }AC=I_n$ . 注意到问题的条件和结论在同时合同变换 $A\mapsto C^{\prime }AC$ , $B\mapsto C^{\prime }BC$ 下不改变, 故不妨从一开始就假设 $A=I_n$ 为合同标准型. 由例 1.46 可知

$$|{\mathbf{I}}_n+\mathbf{B}|=|{\mathbf{I}}_n|+|\mathbf{B}|+\sum _{1\le k\le n-1}\left(\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}\mathbf{B}\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \dots & i_k\\ i_1& i_2& \dots & i_k\end{array}\right)\right).$$

注意到 $B\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_k\\ i_1& i_2& \cdots & i_k\end{array}\right)$ 是 k 阶半正定实对称阵的行列式, 从而其值大于等于零, 于是 $|I_n+B|\ge |I_n|+|B|$ 成立. 当 n=1 时, 不等式的等号显然成立. 当 $n\ge 2$ 时, 若不等式的等号成立, 则必有 $b_{ii}=0(1\le i\le n)$ , 再由例 8.70 可知 B=O.