第 8 章解答题 6

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• 例 9.81
• 第 9 章解答题 15

第 8 章解答题 6

设 $A$ 是 $m$ 阶正定实对称矩阵，$B$ 是 $m\times n$ 实矩阵。求证：$B^{\prime }AB$ 是正定阵的充要条件是 $r(B)=n$。

解答

由 $A$ 的正定性可知，$B^{\prime }AB$ 至少是半正定的，并且

$$x^{\prime }(B^{\prime }AB)x=(Bx{)}^{\prime }A(Bx)=0$$

当且仅当 $Bx=0$。因此，$B^{\prime }AB$ 是正定阵当且仅当 $Bx=0$ 只有零解，再由线性方程组的求解理论可知， 这也当且仅当 $r(B)=n$。