第 9 章解答题 15

依赖于

• 例 9.76
• 第 8 章解答题 6

被以下题目直接调用

• 无

第 9 章解答题 15

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：

(1) 若 $A$ 正定，则对任意的 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$，有 $0\le |B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B|<1$，并且左边等号成立的充要条件是 $r(B)<m$；

(2) 若 $A$ 半正定，则存在 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$，使得 $A+B{B}^{\prime }$ 正定且 $|B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B|=1$ 的充要条件是 $r(A)=n-m$。

解答

假设 $A+B{B}^{\prime }$ 可逆，考虑如下对称分块初等变换，其中第一步是将第二分块行左乘 $B$ 加到第一分块行上， 再将第二分块列右乘 $B^{\prime }$ 加到第一分块列上；第二步是用 $A+B{B}^{\prime }$ 对称地消去同行同列的分块 $B,B^{\prime }$：

$$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& I_m\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A+B{B}^{\prime }& B\\ B^{\prime }& I_m\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A+B{B}^{\prime }& O\\ O& I_m-B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(9.22)}$$

(1) 设 $A$ 正定，则 $A+B{B}^{\prime }$ 也正定，从而 $B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B$ 半正定。由 (9.22) 式可知 $I_m-B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B$ 正定，于是由例 9.76 可得 $0\le |B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B|<1$。再由第 8 章解答题 6 可知，上述不等式左边等号成立的充要条件是 $r(B)<m$。

(2) 设 $A$ 半正定，先证必要性：注意到 $B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B$ 半正定，再由 (9.22) 式可知 $I_m-B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B$ 也半正定，故 $B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B$ 的所有特征值都落在 $[0,1]$ 中。 又 $|B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B|=1$，于是其所有特征值都等于 $1$，从而 $B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B=I_m$。分别计算 (9.22) 式两边分块对角矩阵的秩可得 $r(A)+m=r(A+B{B}^{\prime })=n$，故 $r(A)=n-m$。再证充分性：由 $A$ 半正定以及 $r(A)=n-m$ 可知，存在非异实矩阵 $C$，使得

$$A=C\left(\begin{array}{cc}{I}_{n-m}& O\\ O& O\end{array}\right)C^{\prime }.$$

令

$$B=C\left(\begin{array}{c}O\\ I_m\end{array}\right),$$

则 $A+B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ 为正定阵，且

$$B^{\prime }(A+B{B}^{\prime }{)}^{-1}B=(O{I}_m)C^{\prime }(C{C}^{\prime }{)}^{-1}C\left(\begin{array}{c}O\\ I_m\end{array}\right)=I_m.$$