例 9.81

依赖于

• 第 8 章解答题 6
• 例 9.76
• 例 9.80

被以下题目直接调用

• 无

例 9.81

设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，$B$ 是 $s\times n$ 实矩阵，又假设它们都是行满秩的。 令 $M=A{B}^{\prime }(B{B}^{\prime }{)}^{-1}B{A}^{\prime }$，求证：$M$ 和 $A{A}^{\prime }-M$ 都是半正定阵，并且 $|M|\le |A{A}^{\prime }|$。

解答

证明 设

$$C=\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$$

，则

$$C{C}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)(A^{\prime },B^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}A{A}^{\prime }& A{B}^{\prime }\\ B{A}^{\prime }& B{B}^{\prime }\end{array}\right)$$

是半正定阵。因为 $A,B$ 都是行满秩阵，故由第 8 章解答题 6 可得 $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }$ 都是正定阵， 从而 $(B{B}^{\prime }{)}^{-1}$ 也是正定阵，于是 $M=A{B}^{\prime }(B{B}^{\prime }{)}^{-1}B{A}^{\prime }$ 是半正定阵。对矩阵 $C{C}^{\prime }$ 实施 对称分块初等变换可得

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cc}A{A}^{\prime }& A{B}^{\prime }\\ B{A}^{\prime }& B{B}^{\prime }\end{array}\right)& ⟶\left(\begin{array}{cc}A{A}^{\prime }-M& O\\ B{A}^{\prime }& B{B}^{\prime }\end{array}\right)\\ & ⟶\left(\begin{array}{cc}A{A}^{\prime }-M& O\\ O& B{B}^{\prime }\end{array}\right),\end{array}$$

由此即得 $A{A}^{\prime }-M$ 是半正定阵。再由例 9.76 的半正定版本或例 9.80 即得 $|M|\le |A{A}^{\prime }|$。$\square$