例 8.6

依赖于

• 例 8.1
• 例 8.5

被以下题目直接调用

• 例 8.7
• 例 8.39

例 8.6

设分块实对称矩阵

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)$$

，用 $p(A),q(A)$ 分别表示 $A$ 的正负惯性指数，求证：

$$p(M)=p(A)+p(B),q(M)=q(A)+q(B).$$

解答

证明 由实对称矩阵的合同标准型可知，$A$ 合同于 $\mathrm{diag}\{I_{p(A)},-I_{q(A)},O\}$，$B$ 合同于 $\mathrm{diag}\{I_{p(B)},-I_{q(B)},O\}$，因此由例 8.1 和例 8.5 可知， $M=\mathrm{diag}\{A,B\}$ 合同于 $\mathrm{diag}\{I_{p(A)+p(B)},-I_{q(A)+q(B)},O\}$，从而结论得证。$\square$