例 8.39

依赖于

• 例 8.6
• 例 8.38

被以下题目直接调用

• 无

例 8.39

设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，并用 $p(A),q(A)$ 分别表示 $A$ 的正负惯性指数。 求证：$p(A+B)\le p(A)+p(B),q(A+B)\le q(A)+q(B)$。

解答

证明 考虑如下分块矩阵的乘积：

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_n& I_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_n\\ I_n\end{array}\right)=A+B,$$

由例 8.6 和例 8.38 可得

$$\begin{array}{rl}p(A+B)& \le p\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=p(A)+p(B),\\ q(A+B)& \le q\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=q(A)+q(B).\end{array}$$

$\square$