例 8.38

依赖于

• 例 8.37

被以下题目直接调用

• 例 8.39

例 8.38

设 $A$ 为 $m$ 阶实对称矩阵，$C$ 为 $m\times n$ 实矩阵，证明： $C^{\prime }AC$ 的正惯性指数小于等于 $A$ 的正惯性指数；$C^{\prime }AC$ 的负惯性指数小于等于 $A$ 的负惯性指数。

解答

证明 由于正负惯性指数是合同不变量，故不妨假设 $A=\mathrm{diag}\{I_k,-I_s,O\}$ 是合同标准型，其中 $k,s$ 分别是 $A$ 的正负惯性指数。 设 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$，$f(x)=x^{\prime }{C}^{\prime }ACx$ 是相伴于 $C^{\prime }AC$ 的二次型， $C=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$y=(y_1,y_2,\cdots ,y_m{)}^{\prime }=Cx$，即 $y_i=a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n(1\le i\le m)$，则

$$f(x)=(Cx{)}^{\prime }A(Cx)=y^{\prime }Ay=y_1^2+\cdots +y_k^2-y_{k+1}^2-\cdots -y_{k+s}^2.$$

由例 8.37 可知，$f(x)$ 的正惯性指数 $p\le k$，负惯性指数 $q\le s$，结论得证。$\square$