例 8.37

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 8.38

例 8.37

设实二次型

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=y_1^2+\cdots +y_k^2-y_{k+1}^2-\cdots -y_{k+s}^2,$$

其中 $y_i=a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n(1\le i\le k+s)$，求证： $f$ 的正惯性指数 $p\le k$，负惯性指数 $q\le s$。

解答

证明 假设经过可逆线性变换 $x=Cz$ 后 $f$ 变为规范标准型：

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_{p+q}^2.$$

于是有

$$y_1^2+\cdots +y_k^2-y_{k+1}^2-\cdots -y_{k+s}^2=z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_{p+q}^2.\text{\hspace{1em}(8.3)}$$

若 $p>k$，作线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{y}_i=0(1\le i\le k),\\ z_j=0(p+1\le j\le n),\end{array}$$

这是一个未知数个数（以 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为未知数）超过方程式个数 $(n-(p-k))$ 的齐次线性方程组，故必有非零解 $x=\alpha$。将 $x=\alpha$ 代入 (8.3) 式， 其左边小于等于零，而其右边大于等于零，于是只能等于零。又从 $z_1^2+\cdots +z_p^2=0$ 推出 $z_1=\cdots =z_p=0$，这表明 $\alpha =Cz=0$， 这与 $\alpha$ 非零相矛盾，因此 $p\le k$。同理可证 $q\le s$。$\square$