例 8.7
依赖于
被以下题目直接调用
设分块实对称矩阵
M=(AC′CB)
，其中 A,B 都可逆，求证：
p(A)+p(B−C′A−1C)q(A)+q(B−C′A−1C)=p(B)+p(A−CB−1C′),=q(B)+q(A−CB−1C′).
解答
证明
先将 M 的第一分块行左乘 −C′A−1 加到第二分块行上，再将第一分块列右乘
(−C′A−1)′=−A−1C 加到第二分块列上，可得如下合同变换：
(AC′CB)⟶(AOCB−C′A−1C)⟶(AOOB−C′A−1C).
另一种对称分块初等变换是，先将 M 的第二分块行左乘 −CB−1 加到第一分块行上，
再将第二分块列右乘 (−CB−1)′=−B−1C′ 加到第一分块列上，可得合同变换：
(AC′CB)⟶(A−CB−1C′C′OB)⟶(A−CB−1C′OOB).
因此
(AOOB−C′A−1C)合同于(A−CB−1C′OOB),
再由例 8.6 即得结论。□
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