例 7.73

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• 例 7.74
• 例 8.21

例 7.73

设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，证明：存在 $n$ 阶复对称矩阵 $B,C$，使得 $A=BC$， 并且可以指定 $B,C$ 中任何一个为可逆矩阵。

解答

证明 设 $P$ 为非异阵，使得

$$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),J_{r_2}({\lambda }_2),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k)\}$$

为 $A$ 的 Jordan 标准型。考虑 Jordan 块 $J_{r_i}({\lambda }_i)$ 的如下两种分解：

$$J_{r_i}({\lambda }_i)=R_i{S}_i,\text{\hspace{1em}(7.13)}$$ $$J_{r_i}({\lambda }_i)=S_i{T}_i,\text{\hspace{1em}(7.14)}$$

其中 $S_i$ 是 $r_i$ 阶反对角单位矩阵，$R_i=J_{r_i}({\lambda }_i)S_i$， $T_i=S_i{J}_{r_i}({\lambda }_i)$。这三个矩阵 $R_i,S_i,T_i$ 都是对称矩阵，并且 $S_i$ 是可逆矩阵。 如果一开始选定 $B$ 为可逆矩阵，则利用 (7.14) 式的分解；如果一开始选定 $C$ 为可逆矩阵， 则利用 (7.13) 式的分解。以下不妨设定 $B$ 为可逆矩阵，令

$$S=\mathrm{diag}\{S_1,S_2,\cdots ,S_k\},T=\mathrm{diag}\{T_1,T_2,\cdots ,T_k\},$$

则有 $J=ST$，其中 $S,T$ 都是对称矩阵，并且 $S$ 是可逆矩阵。因此，我们有

$$A=PJ{P}^{-1}=PST{P}^{-1}=(PS{P}^{\prime })((P^{-1}{)}^{\prime }T{P}^{-1}).$$

令 $B=PS{P}^{\prime }$，$C=(P^{-1}{)}^{\prime }T{P}^{-1}$，则 $A=BC$ 即为所求分解。$\square$