例 7.74

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• 例 7.73

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• 无

例 7.74

设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，证明：存在 $n$ 阶非异复对称矩阵 $Q$，使得

$$Q^{-1}AQ=A^{\prime }.$$

解答

证明 设 $P$ 为非异阵，使得

$$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),J_{r_2}({\lambda }_2),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k)\}$$

为 $A$ 的 Jordan 标准型。采用与例 7.73 的证明中相同的记号，注意到 $S_i$ 是非异对称矩阵， 且 $S_i^2=I$，即 $S_i^{-1}=S_i$。我们来考虑 Jordan 块 $J_{r_i}({\lambda }_i)$ 的如下相似关系：

$$J_{r_i}({\lambda }_i)=S_i{J}_{r_i}({\lambda }_i{)}^{\prime }{S}_i.$$

即有 $J_{r_i}({\lambda }_i)=S_i{J}_{r_i}({\lambda }_i{)}^{\prime }{S}_i$。令 $S=\mathrm{diag}\{S_1,S_2,\cdots ,S_k\}$，则 $S$ 是非异对称矩阵，$S^2=I_n$， 且 $J=S{J}^{\prime }S$。因此，我们有

$$\begin{array}{rl}A& =PJ{P}^{-1}=PS{J}^{\prime }S{P}^{-1}\\ & =PS{P}^{\prime }{A}^{\prime }(P^{-1}{)}^{\prime }S{P}^{-1}=(PS{P}^{\prime })A^{\prime }(PS{P}^{\prime }{)}^{-1}.\end{array}$$

令 $Q=PS{P}^{\prime }$，则 $Q$ 为非异复对称矩阵，使得 $Q^{-1}AQ=A^{\prime }$。$\square$