例 7.53

依赖于

• 例 4.34
• 例 7.52

被以下题目直接调用

• 例 7.75

例 7.53

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：它们相似的充要条件是对 $A$ 或 $B$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$ 以及任意的 $1\le k\le n$，有 $r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k)=r((B-{\lambda }_0{I}_n{)}^k)$。

解答

证明 必要性显然，现证充分性。由已知条件及例 4.34 可知，

$$r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{n+1})=r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^n)=r((B-{\lambda }_0{I}_n{)}^n)=r((B-{\lambda }_0{I}_n{)}^{n+1}).$$

因此由例 7.52 可知，特征值为 ${\lambda }_0$ 的 $k$ 阶 Jordan 块 $J_k({\lambda }_0)$ 在 $A,B$ 的 Jordan 标准型中出现的个数相同，从而 $A,B$ 有相同的 Jordan 标准型，于是它们相似。$\square$