例 7.52

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 7.53
• 例 7.55

例 7.52

设 ${\lambda }_0$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值，证明：对任意的正整数 $k$，特征值为 ${\lambda }_0$ 的 $k$ 阶 Jordan 块 $J_k({\lambda }_0)$ 在 $A$ 的 Jordan 标准型 $J$ 中出现的个数为

$$r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{k-1})+r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{k+1})-2r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k),$$

其中约定 $r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^0)=n$。

解答

证明 设 $P$ 为非异阵，使得

$$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),J_{r_2}({\lambda }_2),\cdots ,J_{r_s}({\lambda }_s)\}$$

为 $A$ 的 Jordan 标准型。注意到

$$(A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k=P\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1-{\lambda }_0{)}^k,J_{r_2}({\lambda }_2-{\lambda }_0{)}^k,\cdots ,J_{r_s}({\lambda }_s-{\lambda }_0{)}^k\}{P}^{-1},$$

故

$$r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k)=\sum _{i=1}^{s}r(J_{r_i}({\lambda }_i-{\lambda }_0{)}^k).$$

当 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_0$ 时，$r(J_{r_i}({\lambda }_i-{\lambda }_0{)}^k)=r_i$；当 ${\lambda }_i={\lambda }_0$ 时，若 $r_i<k$，则 $r(J_{r_i}({\lambda }_i-{\lambda }_0{)}^k)=0$；若 $r_i\ge k$，则 $r(J_{r_i}({\lambda }_i-{\lambda }_0{)}^k)=r_i-k$。因此 $r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{k-1})-r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k)$ 等于特征值为 ${\lambda }_0$ 且阶数大于等于 $k$ 的 Jordan 块的个数。同理， $r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k)-r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{k+1})$ 等于特征值为 ${\lambda }_0$ 且阶数大于等于 $k+1$ 的 Jordan 块的个数，从而特征值为 ${\lambda }_0$ 的 $k$ 阶 Jordan 块 $J_k({\lambda }_0)$ 在 $A$ 的 Jordan 标准型 $J$ 中出现的个数为

$$\begin{array}{rl}& (r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{k-1})-r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k))\\ & -(r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k)-r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{k+1}))\\ & =r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{k-1})+r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^{k+1})-2r((A-{\lambda }_0{I}_n{)}^k).\end{array}$$

命题得证。$\square$