例 7.55

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• 例 7.52

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• 无

例 7.55

设 $J=J_n(0)$ 是特征值为零的 $n$ 阶 Jordan 块，求 $J^m(m\ge 1)$ 的 Jordan 标准型。

解答

解 若 $m\ge n$，则 $J^m=O$，这就是它的 Jordan 标准型。下设 $m<n$，并作带余除法： $n=mq+r$，其中 $0\le r<m$。我们先来计算 $J^m$ 的幂的秩，再利用例 7.52 来计算 Jordan 块的个数。注意到

$$\begin{array}{ll}r((J^m{)}^k)=n-mk,& 0\le k\le q,\\ r((J^m{)}^k)=0,& k\ge q+1.\end{array}$$

(1) 当 $1\le k<q$ 时，$J_k(0)$ 的个数为

$$\begin{array}{rl}& r((J^m{)}^{k-1})+r((J^m{)}^{k+1})-2r((J^m{)}^k)\\ & =(n-m(k-1))+(n-m(k+1))-2(n-mk)=0;\end{array}$$

(2) $J_q(0)$ 的个数为

$$r((J^m{)}^{q-1})+r((J^m{)}^{q+1})-2r((J^m{)}^q)=(n-m(q-1))+0-2(n-mq)=m-r;$$

(3) $J_{q+1}(0)$ 的个数为

$$r((J^m{)}^q)+r((J^m{)}^{q+2})-2r((J^m{)}^{q+1})=(n-mq)+0-0=r;$$

(4) 当 $k>q+1$ 时，$J_k(0)$ 的个数为 $0$。 因此 $J^m$ 的 Jordan 标准型为

$$\mathrm{diag}\{J_q(0),\cdots ,J_q(0),J_{q+1}(0),\cdots ,J_{q+1}(0)\},$$

其中有 $m-r$ 个 $J_q(0)$，$r$ 个 $J_{q+1}(0)$。$\square$