例 4.34

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 4.35
• 例 7.53

例 4.34

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，求证：

$$r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})=\cdots .$$

证法 1（代数方法） 由秩的不等式可得

$$n=r(I_n)\ge r(A)\ge r(A^2)\ge \cdots \ge r(A^n)\ge r(A^{n+1})\ge 0.$$

上述 $n+2$ 个整数都在 $[0,n]$ 之间，故由抽屉原理可知，存在某个整数 $m\in [0,n]$，使得 $r(A^m)=r(A^{m+1})$。对任意的 $k\ge m$，由矩阵秩的 Frobenius 不等式可得

$$r(A^{k+1})=r(A^{k-m}{A}^{m}A)\ge r(A^{k-m}{A}^m)+r(A^{m}A)-r(A^m)=r(A^k),$$

又 $r(A^{k+1})\le r(A^k)$，故 $r(A^{k+1})=r(A^k)$ 对任意的 $k\ge m$ 成立，结论得证。

\par证法 2（几何方法） 将 $A$ 看成是 $n$ 维列向量空间上的线性变换，记为 $\phi$，注意下列子空间链：

$$V\supseteq \mathrm{Im}\phi \supseteq \mathrm{Im}{\phi }^2\supseteq \cdots \supseteq \mathrm{Im}{\phi }^n\supseteq \mathrm{Im}{\phi }^{n+1}.$$

上述 $n+2$ 个子空间的维数都在 $[0,n]$ 之间，故由抽屉原理可知，存在某个整数 $m\in [0,n]$，使得

$$\mathrm{Im}{\phi }^m=\mathrm{Im}{\phi }^{m+1}.$$

现要证明对任意的 $k\ge m$，$\mathrm{Im}{\phi }^k=\mathrm{Im}{\phi }^{k+1}$。一方面，$\mathrm{Im}{\phi }^{k+1}\subseteq \mathrm{Im}{\phi }^k$ 是显然的。另一方面，任取 $\alpha \in \mathrm{Im}{\phi }^k$，则存在 $\beta \in V$，使得 $\alpha ={\phi }^k(\beta )$。由于 ${\phi }^m(\beta )\in \mathrm{Im}{\phi }^m=\mathrm{Im}{\phi }^{m+1}$，故存在 $\gamma \in V$，使得 ${\phi }^m(\beta )={\phi }^{m+1}(\gamma )$，从而

$$\alpha ={\phi }^k(\beta )={\phi }^{k-m}({\phi }^m(\beta ))={\phi }^{k-m}({\phi }^{m+1}(\gamma ))={\phi }^{k+1}(\gamma )\in \mathrm{Im}{\phi }^{k+1},$$

故 $\mathrm{Im}{\phi }^k=\mathrm{Im}{\phi }^{k+1}$ 对任意的 $k\ge m$ 成立，取维数后即得结论。$\square$

解答

（源码中本题没有识别到单独的“证明/解/解答”段；题目与解答可能在上方原文中连排。）