例 4.35

依赖于

• 例 4.34

被以下题目直接调用

• 例 7.93

例 4.35

设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，求证：必存在整数 $m\in [0,n]$，使得

$$\mathrm{Im}{\phi }^m=\mathrm{Im}{\phi }^{m+1},\mathrm{Ker}{\phi }^m=\mathrm{Ker}{\phi }^{m+1},V=\mathrm{Im}{\phi }^m\oplus \mathrm{Ker}{\phi }^m.$$

解答

证明 根据例 4.34 的证明可知，存在整数 $m\in [0,n]$，使得

$$\mathrm{Im}{\phi }^m=\mathrm{Im}{\phi }^{m+1}=\mathrm{Im}{\phi }^{m+2}=\cdots .$$

注意到对任意的正整数 $i$，$\mathrm{Ker}{\phi }^i\subseteq \mathrm{Ker}{\phi }^{i+1}$，再由维数公式可知，对任意的 $i>m$，

$$\dim \mathrm{Ker}{\phi }^i=\dim V-\dim \mathrm{Im}{\phi }^i=n-\dim \mathrm{Im}{\phi }^m$$

是一个不依赖于 $i$ 的常数，因此

$$\mathrm{Ker}{\phi }^m=\mathrm{Ker}{\phi }^{m+1}=\mathrm{Ker}{\phi }^{m+2}=\cdots .$$

若 $\alpha \in \mathrm{Im}{\phi }^m\cap \mathrm{Ker}{\phi }^m$，则 $\alpha ={\phi }^m(\beta )$，${\phi }^m(\alpha )=0$。于是

$$0={\phi }^m(\alpha )={\phi }^{2m}(\beta ),$$

即 $\beta \in \mathrm{Ker}{\phi }^{2m}=\mathrm{Ker}{\phi }^m$，从而 $\alpha ={\phi }^m(\beta )=0$，这证明了

$$\mathrm{Im}{\phi }^m\cap \mathrm{Ker}{\phi }^m=0.$$

又对 $V$ 中任一向量 $\alpha$，因为 ${\phi }^m(\alpha )\in \mathrm{Im}{\phi }^m=\mathrm{Im}{\phi }^{2m}$，所以 ${\phi }^m(\alpha )={\phi }^{2m}(\beta )$，其中 $\beta \in V$。我们有分解式

$$\alpha ={\phi }^m(\beta )+(\alpha -{\phi }^m(\beta )).$$

注意到 ${\phi }^m(\alpha -{\phi }^m(\beta ))=0$，即 $\alpha -{\phi }^m(\beta )\in \mathrm{Ker}{\phi }^m$，这就证明了 $V=\mathrm{Im}{\phi }^m+\mathrm{Ker}{\phi }^m$。因此

$$V=\mathrm{Im}{\phi }^m\oplus \mathrm{Ker}{\phi }^m.\square$$

\par注 也可不证明 $V=\mathrm{Im}{\phi }^m+\mathrm{Ker}{\phi }^m$，改由维数公式 $\dim \mathrm{Im}{\phi }^m+\dim \mathrm{Ker}{\phi }^m=n$ 直接得到 $V=\mathrm{Im}{\phi }^m\oplus \mathrm{Ker}{\phi }^m$。