例 6.85

依赖于

• 例 6.80

被以下题目直接调用

• 第 7 章选择题 8

例 6.85

证明：$n$ 阶方阵 $A$ 为可逆矩阵的充要条件是 $A$ 的极小多项式的常数项不为零。

解答

证明 设 $f(x)$ 和 $m(x)$ 分别是 $A$ 的特征多项式和极小多项式，则 $m(x)\mid f(x)$。 若 $A$ 可逆，则 $f(x)$ 的常数项 $(-1{)}^n|A|$ 不等于零，因此 $m(x)$ 的常数项也不为零。

反之，设 $m(x)=x^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_0$，其中 $b_0\ne 0$，则

$$m(A)=A^m+b_{m-1}{A}^{m-1}+\cdots +b_0{I}_n=O,$$

于是

$$A(A^{m-1}+b_{m-1}{A}^{m-2}+\cdots +b_1{I}_n)=-b_0{I}_n.$$

由 $b_0\ne 0$ 即知 $A$ 可逆。也可利用例 6.80 和 Vieta 定理来证明，请读者自行思考。 $\square$