例 6.80

依赖于

• 例 6.79

被以下题目直接调用

• 例 6.81
• 例 6.83
• 例 6.85
• 例 7.15

例 6.80

设 $m(x)$ 和 $f(x)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的极小多项式和特征多项式，求证： 若不计重数，$m(x)$ 和 $f(x)$ 有相同的根。

解答

证明 由例 6.79 可知，$f(x)$ 的根（即特征值）都是 $m(x)$ 的根。又由 Cayley-Hamilton 定理和 极小多项式的基本性质可知，$m(x)\mid f(x)$，从而 $m(x)$ 的根也都是 $f(x)$ 的根。 因此若不计重数，$m(x)$ 和 $f(x)$ 有相同的根。$\square$