第 7 章选择题 8

依赖于

• 例 6.85

被以下题目直接调用

• 无

第 7 章选择题 8

矩阵 $A$ 为可逆矩阵的充要条件是（ ）。

$$\begin{array}{l}\text{(A) 矩阵 }A\text{ 的不变因子全不为零}\\ \text{(B) 矩阵 }A\text{ 的行列式因子全不为零}\\ \text{(C) 矩阵 }A\text{ 的最后一个不变因子有非零常数项}\\ \text{(D) 矩阵 }A\text{ 至少有一个不变因子有非零常数项}\end{array}$$

解答

应选择 (C)。矩阵的最后一个不变因子就是它的极小多项式，当极小多项式的常数项不为零时， 矩阵必可逆（参考例 6.85）。显然 (A)、(B) 都不是正确的选择，例如零矩阵的行列式因子和不变因子全不为零。 对角矩阵 $\mathrm{diag}\{0,1,1\}$ 的不变因子为 $1,\lambda -1,\lambda (\lambda -1)$， 虽然有不变因子有非零常数项，但矩阵不可逆，故 (D) 也不正确。