例 5.65

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 5.42
• 例 5.66
• 例 5.67

例 5.65

求 $n$ 次多项式 $x^n+px+q(n>1)$ 的判别式。

解答

解 设 $f(x)=x^n+px+q,f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+p$。计算下列 $2n-1$ 阶行列式：

$$R(f,f^{\prime })=\left|\begin{array}{ccccccccc}1& 0& \cdots & 0& p& q& & & \\ & 1& 0& \cdots & 0& p& q& & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \ddots & & \\ & & & 1& 0& \cdots & 0& p& q\\ n& 0& \cdots & 0& p& & & & \\ & n& 0& \cdots & 0& p& & & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \ddots & & \\ & & & n& 0& \cdots & 0& p& \end{array}\right|,$$

求得

$$R(f,f^{\prime })=(1-n{)}^{n-1}{p}^n+n^n{q}^{n-1}.$$

因此

$$\Delta (f)=(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}\left((1-n{)}^{n-1}{p}^n+n^n{q}^{n-1}\right).\square$$