例 5.42

依赖于

• 例 5.65
• 例 5.70

被以下题目直接调用

• 无

例 5.42

令 $\Delta =\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$ 是实系数三次方程 $x^3+px+q=0$ 的判别式，求证：

(1) 若 $\Delta >0$，则方程有 1 个实根和 2 个共轭复根；

(2) 若 $\Delta =0$，则方程有 3 个实根，其中 2 个根相同；

(3) 若 $\Delta <0$，则方程有 3 个互不相等的实根。

解答

证明 注意到本题中的 $\Delta$ 和三次方程用结式定义的判别式相差一个负数（参考例 5.65），故由例 5.70 即得本题结论。本题也可用 Cardano 公式直接证明。$\square$