例 5.70

依赖于

• 无显式依赖

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• 例 5.42

例 5.70

设 $f(x)$ 是实系数多项式，求证：

$$(1)\text{若 }\Delta (f)<0,\text{则 }f(x)\text{ 无重根且有奇数对虚根};$$ $$(2)\text{若 }\Delta (f)>0,\text{则 }f(x)\text{ 无重根且有偶数对虚根}.$$

解答

证明 不妨设 $f(x)$ 为 $n$ 次首一多项式，则

$$\Delta (f)=\prod _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2.$$

显然若 $\Delta (f)\ne 0$，则多项式无重根。现设 $f(x)$ 的根如下：

$$x_1,\overline{x_1},\cdots ,x_k,\overline{x_k},x_{2k+1},\cdots ,x_n,$$

其中 $x_i(1\le i\le k)$ 为虚根，$\overline{x_i}$ 是 $x_i$ 的共轭虚根，$x_j(2k+1\le j\le n)$ 为实根。对判别式中各项的情况讨论如下：

若 $i,j\ge 2k+1,i\ne j,x_i,x_j$ 都是实数，因此 $(x_i-x_j{)}^2>0$。

若 $i\le k,j\ge 2k+1$，则 $(x_i-x_j)(\overline{x_i}-x_j)$ 是实数，因此 $(x_i-x_j{)}^2(\overline{x_i}-x_j{)}^2>0$。

若 $i,j\le k,i\ne j$，则 $(x_i-x_j)(x_i-\overline{x_j})(\overline{x_i}-x_j)(\overline{x_i}-\overline{x_j})$ 是实数，因此

$$(x_i-x_j{)}^2(x_i-\overline{x_j}{)}^2(\overline{x_i}-x_j{)}^2(\overline{x_i}-\overline{x_j}{)}^2>0.$$

若 $i\le k,x_i-\overline{x_i}$ 为纯虚数，故 $(x_i-\overline{x_i}{)}^2<0$。

因此若 $\Delta (f)>0$，则虚根对数为偶数；若 $\Delta (f)<0$，则虚根对数为奇数。$\square$