问题 2023A09

依赖于

• 例 2.37
• 例 2.38
• 例 3.81

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023A09

设 A 为 $n(n\ge 2)$ 阶复方阵, 求证: 存在 n 阶复方阵 B, 使得 $B^{\ast }=A$ 的充要条件是 $\mathrm{r}(A)=n$ 或 $\mathrm{r}(A)\le 1$ .

解答

必要性至少有两种证法. 第一种方法是利用矩阵的相抵标准型来证明, 可参考例 2.37 (3) 以及例 2.38 的证明过程. 第二种方法是利用线性方程组的求解理论来证明, 可参考例 3.81.

下面来证明充分性. 若 $\mathrm{r}(\mathbf{A})=n$ , 设复数 $c$ 是 $|\mathbf{A}|$ 的 $n-1$ 次方根 (取其中一个即可), 令 $\mathbf{B}=c{\mathbf{A}}^{-1}$ , 则

$${\mathbf{B}}^{\ast }=(c{\mathbf{A}}^{-1}{)}^{\ast }=c^{n-1}({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{\ast }=c^{n-1}({\mathbf{A}}^{\ast }{)}^{-1}=c^{n-1}(|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=c^{n-1}|\mathbf{A}{|}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{A}.$$

若 $\mathrm{r}(A)=0$，即 $A=O$，则秩小于 $n-1$ 的任一 $n$ 阶复矩阵 $B$ 均满足 $B^{\ast }=O=A.$ 若 $\mathrm{r}(A)=1$，则存在 $n$ 阶非异阵 $P,Q,$ 使得 $A=P\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& O\end{array}\right)Q.$ 由满秩的情形可知，

存在 n 阶非异阵 M, N, 使得 $M^{\ast }=P$ , $N^{\ast }=Q$ . 令 $B=N\left(\begin{array}{cc}0& O\\ O& I_{n-1}\end{array}\right)M$ , 则有

$${\mathbf{B}}^{\ast }={\mathbf{M}}^{\ast }{\left(\begin{array}{cc}0& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{I}}_{n-1}\end{array}\right)}^{\ast }{\mathbf{N}}^{\ast }=\mathbf{P}\left(\begin{array}{cc}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)\mathbf{Q}=\mathbf{A}.$$