例 2.38

依赖于

• 例 2.37

被以下题目直接调用

• 例 2.39
• 例 2.41

例 2.38

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，求证：$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。

解答

证明 若 $A$ 可逆，则在关系式 $A{A}^{\ast }=|A|I_n$ 的两边同时取行列式，可得

$$|A||A^{\ast }|=|A{A}^{\ast }|=||A|I_n|=|A{|}^n,$$

从而 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。

若 $A$ 不可逆，即 $|A|=0$，则存在可逆阵 $P,Q$，使得

$$PAQ=\Lambda =\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right),$$

其中 $r<n$。我们注意到：若 $r\le n-2$，则 ${\Lambda }^{\ast }=O$；若 $r=n-1$，则

$${\Lambda }^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}O& O\\ O& 1\end{array}\right).$$

无论是哪种情况，我们都有 $|{\Lambda }^{\ast }|=0$，从而

$$0=|(PAQ{)}^{\ast }|=|Q^{\ast }{A}^{\ast }{P}^{\ast }|=|Q^{\ast }||A^{\ast }||P^{\ast }|.$$

由例 2.37 可知 $P^{\ast },Q^{\ast }$ 都是可逆阵，因此 $|A^{\ast }|=0=|A{|}^{n-1}$ 仍然成立。