问题 2021A12

依赖于

• 例 3.91
• 例 3.95
• 例 3.92

被以下题目直接调用

• 无

问题 2021A12

设 n 阶方阵 A 的秩等于 r, k 为常数. 证明: $A^2=kA$ 的充分必要条件是对 A 的任一满秩分解 A = BC 都有 $CB=k{I}_r$ .

注本题是第三届全国大学生数学竞赛决赛一道代数试题的推广.

解答

先证充分性. 若对某一满秩分解 A = BC 有 $CB=k{I}_n$，则 $A^2=(BC)(BC)=B(CB)C=kBC=kA$ . 再证充分性. 任取 A 的一个满秩分解 A = BC，代入 $A^2=kA$ 中可得 $B(CB)C=B(k{I}_r)C$ . 注意到 $\mathrm{r}(B)=\mathrm{r}(C)=r$，故由例 3.91 可知 B 存在左逆，C 存在右逆，于是可在上式中从左边消去 B，从右边消去 C，最后得到 $CB=k{I}_r$ . 若 $k\ne 0$，也可以利用例 3.95 和例 3.92 (2) 给出另一证明，具体细节留给读者完成.