例 3.92

依赖于

• 例 3.91

被以下题目直接调用

• 例 3.94

例 3.92

设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$，证明：

(1) $A=BC$，其中 $B$ 是 $m\times r$ 矩阵且 $\mathrm{r}(B)=r$，$C$ 是 $r\times n$ 矩阵且 $\mathrm{r}(C)=r$，这种分解称为 $A$ 的满秩分解；

(2) 若 $A$ 有两个满秩分解 $A=B_1{C}_1=B_2{C}_2$，则存在 $r$ 阶非异阵 $P$，使得

$$B_2=B_{1}P,C_2=P^{-1}{C}_1.$$

解答

证明 (1) 设 $P$ 为 $m$ 阶非异阵，$Q$ 为 $n$ 阶非异阵，使得

$$A=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)Q=P\left(\begin{array}{c}{I}_r\\ O\end{array}\right)(I_r,O)Q.$$

令

$$B=P\left(\begin{array}{c}{I}_r\\ O\end{array}\right),C=(I_r,O)Q,$$

即得结论。

(2) 由例 3.91 可知，存在 $r\times m$ 行满秩阵 $S_2$，$n\times r$ 列满秩阵 $T_2$，使得

$$S_2{B}_2=I_r,C_2{T}_2=I_r,$$

于是

$$\begin{array}{rl}{B}_2& =B_2(C_2{T}_2)=(B_2{C}_2)T_2=(B_1{C}_1)T_2=B_1(C_1{T}_2),\\ C_2& =(S_2{B}_2)C_2=S_2(B_2{C}_2)=S_2(B_1{C}_1)=(S_2{B}_1)C_1,\\ (S_2{B}_1)(C_1{T}_2)& =S_2(B_1{C}_1)T_2=S_2(B_2{C}_2)T_2=(S_2{B}_2)(C_2{T}_2)=I_r.\end{array}$$

令 $P=C_1{T}_2$，即得结论。

\par注 从几何的观点来看，$A=BC$ 是满秩分解当且仅当 $B$ 的 $r$ 个列向量是 $A$ 的 $n$ 个列向量张成线性空间的一组基，也当且仅当 $C$ 的 $r$ 个行向量是 $A$ 的 $m$ 个行向量张成线性空间的一组基（请读者自行证明）。有了这个结论，我们可以不用计算 $A$ 的相抵标准型，就能得到它的满秩分解。