问题 2021A10

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问题 2021A10

设 $(V,+,\cdot )$ 是数域 K 上的线性空间, 映射 $\phi :S\to V$ 是从集合 S 到 V 的一个双射. 设 $a,b\in S,k\in K$ , 定义 S 上的加法 $\oplus$ 为: $a\oplus b={\phi }^{-1}(\phi (a)+\phi (b))$ ;

定义 K 关于 S 的数乘 $\circ$ 为: $k\circ a={\phi }^{-1}(k\cdot \phi (a))$ .

(1) 证明: $(S,\oplus ,\circ )$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 并且 $\phi :S\to V$ 是线性同构; (2) 在 问题 2021A06 中, $n$ 阶实反对称阵全体构成的集合 $S$ 是实数域上的线性空间, 请定义集合 $T=\{P\text{为 }n\text{阶正交阵且满足}{I}_n+P\text{可逆}\}$ 上的加法和数乘 (写出具体的表达式), 使得 $T$ 成为实数域上的线性空间, 并且 $\psi :T\to S$ 成为线性同构.

解答

(1) 容易验证 S 上的加法 $\oplus$ 和数乘 $\circ$ 满足线性空间的八条公理 (细节留给读者完成), 从而 S 是数域 K 上的线性空间. 由定义可知双射 $\phi :S\to V$ 满足 $\phi (a\oplus b)=\phi (a)+\phi (b)$ 和 $\phi (k\circ a)=k\cdot \phi (a)$ , 于是 $\phi :S\to V$ 是线性同构.

(2) 由 (1) 中的定义方式, 对任意的 $P,Q\in T$ , $k\in \mathbb{R}$ , 经计算可得 (细节留给读者完成):

$$\mathbf{P}\oplus \mathbf{Q}=({\mathbf{I}}_n+\mathbf{P}{)}^{-1}(-{\mathbf{I}}_n+\mathbf{P}+\mathbf{Q}+3\mathbf{PQ})(3{\mathbf{I}}_n+\mathbf{P}+\mathbf{Q}-\mathbf{PQ}{)}^{-1}({\mathbf{I}}_n+\mathbf{P}),$$ $$k\circ \mathbf{P}=((1-k){\mathbf{I}}_n+(1+k)\mathbf{P})((1+k){\mathbf{I}}_n+(1-k)\mathbf{P}{)}^{-1}.$$