问题 2023A08

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问题 2023A08

设 $S=\{(a,b)\in {\mathbb{R}}^2\mid a^2+b^2=1\text{ 且 }b\ne 1\}$，定义映射 $\phi :S\to \mathbb{R}$， $\phi (a,b)=\frac{a}{1-b}$.

(1) 验证 $\phi :S\to \mathbb{R}$ 是一个双射; (2) 请在 $S$ 上定义加法 $\oplus$ 和数乘 $\circ$ , 使 $(S,\oplus ,\circ )$ 成为实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间, 且 $\phi :S\to \mathbb{R}$ 成为线性同构.

解答

(1) 定义映射 $\psi :\mathbb{R}\to S,\psi (c)=\left(\frac{2c}{c^2+1},\frac{c^2-1}{c^2+1}\right)$，容易验证 $\psi \phi =I_S,\phi \psi =I_{\mathbb{R}}$，故 $\phi :S\to \mathbb{R}$ 是一个双射.

(2) 由 问题 2021A10 可知, 定义 $S$ 上的加法 $\oplus$ 为:

$$\left(a_1,b_1\right)\oplus \left(a_2,b_2\right)=\psi \left(\frac{a_1}{1-b_1}+\frac{a_2}{1-b_2}\right)=\left(\frac{2c}{c^2+1},\frac{c^2-1}{c^2+1}\right),$$

其中 $c=\frac{a_1}{1-b_1}+\frac{a_2}{1-b_2}$ 定义 $S$ 上的数乘 $\circ$ 为：

$$k\circ (a,b)=\psi \left(\frac{ka}{1-b}\right)=\left(\frac{2d}{d^2+1},\frac{d^2-1}{d^2+1}\right),$$

其中 $d=\frac{ka}{1-b}$ ; 此时 $\phi :S\to \mathbb{R}$ 是线性同构.