问题 2021A06

依赖于

• 例 9.122

被以下题目直接调用

• 无

问题 2021A06

若 n 阶实方阵 P 满足 $P{P}^{\prime }=I_n$，则称 P 为正交阵。设 S 为 n 阶实反对称阵全体构成的集合， $T=\{P\text{ 为 }n\text{ 阶正交阵且满足 }{I}_n+P\text{ 可逆}\}$.

(1) 对任意的 $A\in S$ , 由例 2.30 可知 $I_n+A$ 可逆, 定义 $\phi (A)=(I_n-A)(I_n+A{)}^{-1}$ , 证明: $\phi$ 是从 $S$ 到 $T$ 的映射. (2) 对任意的 $P\in T$ , 定义 $\psi (P)=(I_n-P)(I_n+P{)}^{-1}$ , 证明: $\psi$ 是从 $T$ 到 $S$ 的映射. (3) 证明: $\psi \phi =\mathbf{I}{\mathbf{d}}_S$ , $\phi \psi =\mathbf{I}{\mathbf{d}}_T$ , 其中 $\mathbf{I}{\mathbf{d}}_S,\mathbf{I}{\mathbf{d}}_T$ 表示 $S,T$ 上的恒等映射, 即 $\phi ,\psi$ 实现了集合 $S$ 与 $T$ 之间的一一对应. (4) 设 $n$ 阶实反对称阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \dots & 1\\ -1& 0& 1& \dots & 1\\ -1& -1& 0& \dots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -1& -1& -1& \dots & 0\end{array}\right),$$

试求 $\phi (\mathbf{A})=({\mathbf{I}}_n-\mathbf{A})({\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}{)}^{-1}.$

解答

(1) 即证明 $\phi (A)$ 是正交阵且 $I_n+\phi (A)$ 可逆, 具体的验证过程留给读者完成.

(2) 即证明 $\psi (P)$ 是反对称阵, 具体的验证过程留给读者完成. (3) 即证明 $\psi \phi (A)=A$ 以及 $\phi \psi (P)=P$ , 具体的验证过程留给读者完成. 本题的背景可参考例 9.122. (4) 对分块矩阵 $({\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\mid {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A})$ 实施初等行变换, 可求出 $({\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}{)}^{-1}({\mathbf{I}}_n-\mathbf{A})=({\mathbf{I}}_n-\mathbf{A})({\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}{)}^{-1}=\phi (\mathbf{A})$. 具体的计算过程留给读者完成, 结果为 $\phi (\mathbf{A})=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& -{\mathbf{I}}_{n-1}\\ 1& \mathbf{O}\end{array}\right)$.