例 9.122

依赖于

• 例 3.82

被以下题目直接调用

• 无

例 9.122

设 $S=\{n\text{ 阶实反对称矩阵 }A\}$， $T=\{I_n+B\text{ 可逆的 }n\text{ 阶正交矩阵 }B\}$。映射 $\phi :S\to T$ 定义为

$$\phi (A)=(I_n-A)(I_n+A{)}^{-1},$$

映射 $\psi :T\to S$ 定义为

$$\psi (B)=(I_n-B)(I_n+B{)}^{-1}.$$

求证：$\psi \phi =I_S,\phi \psi =I_T$，即 $\phi ,\psi$ 实现了集合 $S,T$ 之间的一一对应。

解答

证明 由例 3.82 可知 $I_n+A$ 是可逆矩阵，再由矩阵运算不难验证 $\phi (A)\in T$，因此 $\phi$ 的定义是有意义的。同理由矩阵运算不难验证 $\psi (B)\in S$，因此 $\psi$ 的定义也是有意义的。 $\psi \phi =I_S$ 和 $\phi \psi =I_T$ 都可以通过矩阵运算得到验证，具体的细节留给读者完成。