例 3.82

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• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 8.44
• 例 9.122

例 3.82

设 $A$ 是 $n$ 阶实反对称阵，$D=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots ,d_n\}$ 是同阶对角阵且主对角元素全大于零，求证：$|A+D|>0$。特别地，$|I_n+A|>0$，从而 $I_n\pm A$ 都是非异阵。

解答

证明 先证明 $|A+D|\ne 0$，只需证明 $(A+D)x=0$ 只有零解。因为 $x^{\prime }(A+D)x=0$，转置可得 $x^{\prime }(-A+D)x=0$，上述两式相加即得 $x^{\prime }Dx=0$。若设 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$，则有

$$d_1{x}_1^2+d_2{x}_2^2+\cdots +d_n{x}_n^2=0.$$

由于 $d_i$ 都大于零并且 $x_i$ 都是实数，故只能是 $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$，即有 $x=0$。

再证明本题的结论。设 $f(t)=|tA+D|$，则 $f(t)$ 是关于 $t$ 的多项式，从而是关于 $t$ 的连续函数。注意到对任意的实数 $t$，$tA$ 仍是实反对称阵，故由上面的讨论可得

$$f(t)=|tA+D|\ne 0,$$

即 $f(t)$ 是 $\mathbb{R}$ 上处处不为零的连续函数。注意到当 $t=0$ 时，$f(0)=|D|>0$，因此 $f(t)$ 只能是 $\mathbb{R}$ 上取值恒为正数的连续函数。特别地，$f(1)=|A+D|>0$。