例 3.48

依赖于

• 例 2.10

被以下题目直接调用

• 例 4.29
• 例 9.22

例 3.48

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵组成的向量空间，$V_1$ 和 $V_2$ 分别是 $\mathbb{F}$ 上对称矩阵和反对称矩阵组成的子集。求证：$V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间且 $V=V_1\oplus V_2$。

解答

证明 由于对称矩阵之和仍是对称矩阵，一个数乘以对称矩阵仍是对称矩阵，因此 $V_1$ 是 $V$ 的子空间。同理 $V_2$ 也是 $V$ 的子空间。又由例 2.10 可知，任一 $n$ 阶矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和，故 $V=V_1+V_2$。若一个矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵，则它一定是零矩阵。这就是说 $V_1\cap V_2=0$。于是 $V=V_1\oplus V_2$。