例 9.22

依赖于

• 例 3.48
• 例 9.11

被以下题目直接调用

• 无

例 9.22

设 $V$ 为 $n$ 阶实矩阵全体构成的欧氏空间（取 Frobenius 内积），$V_1,V_2$ 分别为 $n$ 阶实对称矩阵全体和 $n$ 阶实反对称矩阵全体构成的子空间，求证：

$$V=V_1\perp V_2.$$

解答

证明 一方面，由例 3.48 可知 $V=V_1\oplus V_2$。另一方面，对任意的 $A\in V_1,B\in V_2$， 由迹的交换性可得

$$(A,B)=\mathrm{tr}(A{B}^{\prime })=-\mathrm{tr}(AB)=-\mathrm{tr}(BA)=-\mathrm{tr}(B{A}^{\prime })=-(B,A)=-(A,B),$$

于是 $(A,B)=0$，从而 $V_1\perp V_2$，因此 $V=V_1\perp V_2$。$\square$

例 9.11 的证法 2 设 $V_k$ 是由次数小于等于 $k$ 的实系数多项式构成的子空间，

$$w_k(x)=\frac{u_k(x)}{m_k}(0\le k\le n),$$

同证法 1 的计算可知这是一组两两正交的单位向量。 下面用归纳法来证明结论。当 $k=0$ 时结论显然成立，假设从 $1,x,\cdots ,x^k$ 出发， 经过 Gram-Schmidt 正交化方法得到 $V_k$ 的一组标准正交基为 $w_0(x),w_1(x),\cdots ,w_k(x)$。现设 $x^{k+1}$ 经过 Gram-Schmidt 正交化方法得到的 单位向量为 ${\tilde{w}}_{k+1}(x)$，满足 $(w_i(x),{\tilde{w}}_{k+1}(x))=0(0\le i\le k)$，于是

$$V_{k+1}=V_k\perp L(w_{k+1}(x))=V_k\perp L({\tilde{w}}_{k+1}(x)).$$

因此 $L(w_{k+1}(x))=L({\tilde{w}}_{k+1}(x))$ 是 $V_k$ 在 $V_{k+1}$ 中的正交补空间， 注意到 $w_{k+1}(x)$ 和 ${\tilde{w}}_{k+1}(x)$ 都是范数为 $1$ 且首项系数为正数的 $k+1$ 次多项式，故 ${\tilde{w}}_{k+1}(x)=w_{k+1}(x)$，结论得证。$\square$