问题 2021A05

依赖于

• 例 6.86
• 例 2.21

被以下题目直接调用

• 无

问题 2021A05

设 A, B 为 n 阶方阵, 满足:

$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}+a_m{\mathbf{B}}^m+a_{m-1}{\mathbf{B}}^{m-1}+\cdots +a_1\mathbf{B},$$

其中 $a_m+a_{m-1}+\cdots +a_1\ne 0$ . 求证: AB = BA.

解答

设 $g(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x$，则由带余除法可知 $g(x)=(x-1)h(x)+g(1)$，其中 $g(1)=a_m+a_{m-1}+\cdots +a_1\ne 0$。由条件可知 $\mathbf{A}(\mathbf{B}-{\mathbf{I}}_n)=g(\mathbf{B})=h(\mathbf{B})(\mathbf{B}-{\mathbf{I}}_n)+g(1){\mathbf{I}}_n$，经整理可得 $(\mathbf{A}-h(\mathbf{B}))(\mathbf{B}-{\mathbf{I}}_n)=g(1){\mathbf{I}}_n$，即有 $\frac{1}{g(1)}(\mathbf{A}-h(\mathbf{B}))(\mathbf{B}-{\mathbf{I}}_n)={\mathbf{I}}_n$。于是 $(\mathbf{B}-{\mathbf{I}}_n)\frac{1}{g(1)}(\mathbf{A}-h(\mathbf{B}))={\mathbf{I}}_n$，即有 $(\mathbf{B}-{\mathbf{I}}_n)(\mathbf{A}-h(\mathbf{B}))=g(1){\mathbf{I}}_n$，经整理可得 $BA=A+g(B)=AB$。进一步，由上述讨论可得 $A-h(B)=g(1)(B-I_n{)}^{-1}$，再由例 6.86 可知 $(\mathbf{B}-{\mathbf{I}}_n{)}^{-1}$ 是 $B-I_n$ 的多项式，从而也是 B 的多项式，于是 A 也可表示为 B 的多项式。本题是例 2.21 的推广。