例 6.86

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• 无显式依赖

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• 例 6.87
• 第 6 章解答题 13

例 6.86

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，求证：$A^{-1}=g(A)$，其中 $g(x)$ 是一个 $n-1$ 次多项式。

解答

证明 设 $f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ 是 $A$ 的特征多项式，因为 $A$ 可逆， 故 $a_n=(-1{)}^n|A|\ne 0$。由 Cayley-Hamilton 定理可得 $f(A)=O$，于是

$$A\left(-\frac{1}{a_n}(A^{n-1}+a_1{A}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{I}_n)\right)=I_n.$$

因此

$$A^{-1}=-\frac{1}{a_n}(A^{n-1}+a_1{A}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{I}_n).\square$$