例 2.21

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• 问题 2021A05

例 2.21

设 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 满足 $A+B=AB$，求证：$I_n-A$ 是可逆阵且 $AB=BA$。

解答

证明 因为

$$(I_n-A)(I_n-B)=I_n-A-B+AB=I_n,$$

所以 $I_n-A$ 是可逆阵。另一方面，由上式可得 $(I_n-A{)}^{-1}=I_n-B$，故

$$I_n=(I_n-B)(I_n-A)=I_n-B-A+BA,$$

从而 $BA=A+B=AB$。$\square$