问题 2019A09

依赖于

• 例 3.8
• 例 7.28

被以下题目直接调用

• 无

问题 2019A09

设 A 为数域 K 上的 2 阶方阵, 试求 $C(A)=\{X\in M_2(\mathbb{K})\mid AX=XA\}$ .

解答

分以下两种情况进行讨论.

(1) 若对任意的非零列向量 $\alpha \in {\mathbb{K}}^2$ , $\alpha ,A\alpha$ 都线性相关, 则由例 3.8 可知, 存在 ${\lambda }_0\in \mathbb{K}$ , 使得 $A\alpha ={\lambda }_0\alpha$ . 例如, 对 $e_1=(1,0{)}^{\prime }$ , $e_2=(0,1{)}^{\prime }$ , 存在 ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{K}$ , 使得 $A{e}_1={\lambda }_1{e}_1$ , $A{e}_2={\lambda }_2{e}_2$ , 于是 $A=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\}$ . 再考虑 $\alpha =e_1+e_2$ , 则由 $A\alpha ={\lambda }_0\alpha$ 可得 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_0$ , 于是 $A={\lambda }_0{I}_2$ 为纯量阵, 此时 $C(A)=M_2(\mathbb{K})$ . (2) 若存在某个非零列向量 $\alpha \in {\mathbb{K}}^2$ , 使得 $\alpha ,A\alpha$ 线性无关, 令 $P=(\alpha ,A\alpha )\in M_2(\mathbb{K})$ , 则 $P$ 非异并且

$$\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{A}(\mathbf{\alpha },\mathbf{A}\mathbf{\alpha })=(\mathbf{A}\mathbf{\alpha },{\mathbf{A}}^2\mathbf{\alpha })=(\mathbf{\alpha },\mathbf{A}\mathbf{\alpha })\left(\begin{array}{cc}0& a_1\\ 1& a_2\end{array}\right)=\mathbf{P}\left(\begin{array}{cc}0& a_1\\ 1& a_2\end{array}\right),$$

即 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& a_1\\ 1& a_2\end{array}\right)$ . 任取 $B\in C(A)$ , 即 AB=BA, 于是 $(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)$ . 若设 $P^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ , 则由上述等式可得 $b_{12}=a_1{b}_{21}$ , $b_{22}=b_{11}+a_2{b}_{21}$, 于是

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& a_1{b}_{21}\\ b_{21}& b_{11}+a_2{b}_{21}\end{array}\right)=b_{11}{\mathbf{I}}_2+b_{21}\left(\begin{array}{cc}0& a_1\\ 1& a_2\end{array}\right)={\mathbf{P}}^{-1}(b_{11}{\mathbf{I}}_2+b_{21}\mathbf{A})\mathbf{P},$$

从而 $B=b_{11}{I}_2+b_{21}A$ . 又任一 $b_{11}{I}_2+b_{21}A$ 显然属于 $C(A)$ , 因此 $C(A)=L(I_2,A)$ . 本题高代 II 的解法请参考例 7.28.